Дипломная работа

от 20 дней
от 7 499 рублей

Курсовая работа

от 10 дней
от 1 499 рублей

Реферат

от 3 дней
от 529 рублей

Контрольная работа

от 3 дней
от 79 рублей
за задачу

Билеты к экзаменам

от 5 дней
от 89 рублей

 

Курсовая История возникновения аксиом, теорем и определений. - Высшая математика

  • Тема: История возникновения аксиом, теорем и определений.
  • Автор: Александр
  • Тип работы: Курсовая
  • Предмет: Высшая математика
  • Страниц: 27
  • ВУЗ, город: -----
  • Цена(руб.): 1500 рублей

altText

Выдержка

отором она пересечет прямую AB в точке E'. Получится треугольник AC'E'. Но в силу аксиомы Валлиса можно на отрезке AC построить треугольник, подобный этому треугольнику. Третья вершина этого треугольника и будет точкой пересечения прямых AB и CD. Бойяи рассматривает случай, когда прямая AC перпендикулярна к прямой AB (см. Рис. 5; если V постулат доказан для этого случая, его нетрудно доказать и для общего случая). Далее он берет произвольную точку E отрезка AC и находит точки F и G, симметричные точке E относительно прямых AB и CD. Если сумма внутренних односторонних углов и не равна двум прямым, т. е. если прямая CD не перпендикулярна к AC, то точки E, F и G не лежат на одной прямой. Следовательно, они, как считает Бойяи, лежат на одной окружности. В таком случае прямые AB и CD - перпендикуляры, восстановленные в серединах хорд окружности, - пересекаются в центре этой окружности.Исследования Лежандра. Французский математик и педагог А. М. Лежандр является автором замечательного школьного учебника "Начала геометрии", вышедшего в свет первым изданием в 1794 году и переиздававшегося при жизни автора 14 раз. Лежандр весьма существенно менял свою книгу от издания к изданию. При этом больше всего его заботила теория параллельных. Во всех прижизненных изданиях "Начал геометрии", кроме 9, 10 и 11-го, Лежандр доказывал V постулат, меняя, однако, доказательства от издания к изданию. Объяснялось это тем, что каждый раз после выхода очередного издания Лежандр обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (точнее, не ошибку, а неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату). Безупречного доказательства V постулата Лежандр так и не получил (и, как будет ясно из сказанного ниже, не мог получить). Однако его исследования очень поучительны и, что самое главное, вскрывают глубокие связи между V постулатом и другими предложениями. Особенно важны три замечательные теоремы Лежандра о связи V постулата с теоремами о сумме углов треугольника. Рассмотрим их подробнее. Доказательства этих теорем проводятся без использования V постулата (или аксиомы о параллельных). Теорема 1. Во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180°. Доказательство. Предположим, что наша теорема неверна, т. е. что существует треугольник ABA1, сумма углов которого больше 180°. Продолжим сторону AA1 этого треугольника и построим на прямой AA1 ряд треугольников A1B1A2, A2B2A3, ..., An-1Bn-1An, AnBnAn+1, равных треугольнику ABA1; точки B и B1, B1 и B2, ..., Bn-1 и Bn соединим отрезками (см. Рис. 6; заметьте, мы не утверждаем, что отрезки BB1, B1B2, ..., Bn-1Bn составляют прямую линию, - доказать это, не опираясь на V постулат, невозможно). Так как на рис. 6 , а , то ; таким образом, стороны A1B и A1B1 треугольника A1BB1 соответственно равны сторонам BA1 и BA треугольника ABA1, а заключенный между ними угол A1 меньше угла B. Отсюда вытекает, что AA1 > BB1 (заметим, что теорема о двух треугольниках, имеющих по две равные стороны, во всех учебниках геометрии доказывается до аксиомы параллельности и, следовательно, не зависит от V постулата). Но, очевидно, не только ΔABA1 = ΔA1B1A2 = ... = ΔAnBnAn+1, но и ΔBA1B1 = ΔB1A2B2 = ... = ΔBn-1AnBn. Поэтому, если положить AA1 - BB1 = a, то получим AAn - (BB1 + B1B2 + ... + Bn-1Bn) = na. Выбрав теперь число n настолько большим, что na > 2AB, мы найдем, что (AB + BB1 + B1B2 + ... + Bn-1Bn + BnAn) - AAn = AB + BnAn - na < 0, т. е. что отрезок AAn больше ломаной ABB1 ... BnAn, соединяющей его концы. Но последнее невозможно (причем невозможность эта устанавливается без обращения к аксиоме параллельности). Полученное противоречие и доказывает теорему.Теорема 2. Если у какого-либо одного треугольника сумма углов равна 180°, то она равна 180° и у любого треугольника. Доказательство. Установим прежде всего, что если сумма углов прямоугольного треугольника ABC равна 180°, то сумма углов прямоугольного треугольника ABC1, катет BC1 которого равен 2BC (см. Рис. 7), также равна 180°.Для доказательства построим на стороне AC треугольник ACB', равный ACB (причем так, что ); в таком случае все углы четырехугольника ABCB' будут прямыми (т. к. сумма острых углов треугольника ABC по предположению равна 90°). Продолжив теперь отрезок AB' на расстояние B'C' = AB' и соединив C' с C1, получим четырехугольник B'CC1C', равный ABCB' (их можно совместить при помощи симметрии относительно прямой B'C). Поэтому получаем четырехугольник ABC1C' с четырьмя прямыми углами; диагональ AC1 разбивает его на два прямоугольных треугольника, сумма углов каждого из которых равна 180°. Далее докажем, что если в одном прямоугольном треугольнике ABC сумма углов равна 180°, то сумма углов и любого другого прямоугольного треугольника A1B1C1 равна 180°. Мы можем считать, что оба катета треугольника ABC больше соответствующих катетов треугольника A1B1C1; если бы это было не так, то мы добились бы нужного нам положения вещей, последовательно удвоив несколько раз катеты треугольника ABC (ведь, по доказанному выше, при удвоении одного из катетов прямоугольного треугольника с суммой углов 180° сумма его углов не меняется). Наложим теперь треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы у них совпали прямые углы (см. Рис. 8), и проведем отрезок AC1.По теореме 1, сумма углов каждого из треугольников ABC1 и AC1C не больше 180°; если хотя бы у одного из них сумма углов была бы меньше 180°, то и сумма углов прямоугольного треугольника ABC (получающаяся, если из суммы всех углов треугольников ABC1 и ACC1 вычесть 180°) была бы меньше 180°, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника ABC1 также равна 180°. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников A1BC1 и A1AC1 сумма углов равна 180°. Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180°. Опустив на его большую сторону высоту BD, разобъем его на два прямоугольных треугольника ABD и CBD (см. Рис. 9, а). Сумма углов каждого из треугольников ABD, CBD также равна 180° (т. к. если бы сумма острых углов хотя бы одного из треугольников ABD и CBD была меньше 90°, то сумма углов треугольника ABC также была бы меньше 180°). По доказанному выше, отсюда следует, что сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90°. Но каждый треугольник A1B1C1 можно разбить на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на большую сторону (см. Рис. 9, б). Так как сумма острых углов каждого из этих треугольников (A1B1D1 и B1C1D1 на Рис. 9, б) равна 90°, то сумма углов треугольника A1B1C1 равна 180°, что и завершает доказательство теоремы. Теорема 3. Если сумма углов любого треугольника равна 180°, то справедлив V постулат. Пусть A - точка, лежащая вне прямой DD' (см. Рис. 10). Опустим из точки A перпендикуляр AC на прямую DD' и проведем через точку A прямую BB', перпендикулярную к AC. Ясно, что прямые BB' и DD' не пересекаются (иначе образовался бы треугольник с суммой углов, большей 180°).Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку A, пересекается с прямой DD'. Из двух лучей AM, AN выберем тот, который с отрезком AC составляет острый угол; пусть это будет луч AN и пусть (как на Рис. 10) точки B и N лежат по одну сторону от прямой AC (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек B и B'). Угол обозначим через α. Если мы установим существование луча AP, составляющего с лучом AB угол, меньший чем α, и пересекающего прямую DD', то станет ясно, что и луч AN должен пересечь прямую DD' (см. Рис. 11). Существование требуемого луча AP Лежандр устанавливает следующим образом. Отложим на луче CD отрезок CP1 = CA (см. Рис. 12). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике ACP1 каждый из углов равен (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 180°!). Отложим теперь на прямой CD отрезок P1P2 = P1A. Тогда в равнобедренном треугольнике AP1P2 каждый из углов , как легко подсчитать, равен . Затем построим точку P3 прямой CD (так, чтобы было AP2 = P2P3) и т. д. В результате получим лучи AP1AP2AP3, ..., каждый из которых пересекает прямую CD. При этом Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч APn (пересекающий прямую DD'), для которого . Этим и завершается доказательство теоремы. Как известно, из V постулата (или из аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение "сумма углов треугольника равна 180°" эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180°: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180°, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180°, скажем, равна 180°- α (см. Рис. 13).Построим на стороне BC вне треугольника ABC треугольник BCD, равный ABC, и проведем через точку D прямую, пересекающую стороны AB и AC угла BAC в точках M и N. В таком случае сумма углов треугольника BCD также равна 180°- α, а у треугольников BDM и CDN суммы углов не превосходят 180° (теорема 1). Поэтому сумма 12 углов четырех треугольников: ABC, BCD, BDM и CDN не превосходит 720°-2α. Но суммы трех углов при точках B, C и D равны 180°; поэтому сумма оставшихся трех углов при вершинах A, M и N не превосходит (720°-2α) - 540° = 180°- 2α. Таким образом, мы построили треугольник AMN, сумма углов которого не превосходит 180°-2α. Далее таким же способом строим треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 4α, затем треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 8α, и т. д. Но таким путем мы, в конце концов, придем к треугольнику с отрицательной суммой углов, - а такого треугольника явно не может быть! Полученное противоречие и доказывает, что сумма углов любого треугольника равна 180°, а значит (теорема 3), V постулат имеет место. Ошибочность этого доказательства состоит в том, что Лежандр, не оговаривая этого явно, пользуется следующим утверждением: через любую точку D, взятую внутри угла CAB, можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Но это предложение эквивалентно самому V постулату: его так же не удается доказать, исходя из остальных аксиом, как и V постулат.Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводились по схеме "доказательства от противного", т. е. предполагалось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то V постулат был бы доказан. По этому пути шли упомянутые выше Хасан ибн ал-Хайсам и Омар Хайям, а также во многом следовавшие за Хайямом азербайджанский математик XIII века Насир ад-Дин ат-Туси, итальянский математик XVII-XVIII веков Джироламо Саккери и немецкий математик XVIII века Иоганн Генрих Ламберт. При этом было накоплено много фактов, которые имели бы место в геометрии, в которой верны все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельности, а последняя неверна. Особенно много удивительных теорем, которые имели бы место в такой "геометрии", если бы только последняя была возможна, получил И.Г. Ламберт. Однако никто из перечисленных выше математиков не допускал и мысли о том, что, помимо геометрии Евклида, возможна другая непротиворечивая геометрия. В большинстве случаев все их построения завершались тем, что явно или неявно применялась аксиома, содержащая утверждение, равносильное V постулату, в результате чего и обнаруживалось противоречие. Однако сегодня мы ценим упомянутые исследования как заложившие начала неевклидовой геометрии Лобачевского. Под этим названием понимается та совокупность теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утверждением: в плоскости через точку A, не принадлежащую прямой a, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с a (см. Рис. 14).Эта геометрическая система носит имя Николая Ивановича Лобачевского, профессора и ректора Казанского университета. Независимо от него, существование новой геометрии установили великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс и замечательный венгерский математик Янош Бойяи, сун Фаркаша Бойяи. Названные три автора первоначально шли тем путем, который мы указали выше. Стремясь доказать V постулат от противного, они глубоко развили аксиоматическую систему, получающуюся при отрицании истинности V постулата*, но не обнаружили при этом никаких противоречий. Однако, в противоположность своим предшественникам, эти три великих математика сделали из полученных ими результатов вывод о существовании геометрической системы, отличной от евклидовой. При этом они продолжали исследовать новую геометрию, получая дальнейшие относящиеся к ней теоремы. По-видимому, Гаусс владел основными идеями новой геометрии уже в начале 10-х годов прошлого века; однако, боясь быть непонятным, он никому не сообщил о своем замечательном открытии. Мужественнее поступили Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи, которые опубликовали первые работы, излагающие существо неевклидовой геометрии, и отстаивали свои идеи. Первая публикация в этом направлении принадлежит Лобачевскому, напечатавшему в 1829 году в журнале "Казанский вестник" статью "О началах геометрии". Вслед за этим Лобачевский напечатал много других статей и книг, широко раскрывающих содержание открытой им геометрической системы. Я. Бойяи опубликовал свое открытие в 1832 году в виде приложения ("Appendix") к обширному сочинению своего отца. Этот краткий мемуар по достоинству считается одним из замечательнейших произведений мировой математической литературы.Ни Лобачевский, ни Гаусс, ни Бойяи не дали строгого логического доказательства непротиворечивости изученной ими геометрии; такое доказательство впервые было получено итальянским геометром Эудженио Бельтрами (1868 г.) и немецким математиком Феликсом Клейном (1870 г.). Эти доказательства сводились к построению, в рамках евклидовой геометрии, "моделей" неевклидовой геометрии Лобачевского, т. е. такой системы объектов, для которой выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского. Ниже укажем, как строится такая модель. Заметим еще, что некоторые попытки доказательства V постулата не использовали метода доказательства от противного. Их авторы систематически развивали геометрическую теорию, базирующуюся на всех аксиомах евклидовой геометрии, кроме V постулата, пытаясь получить на таком пути доказательство V постулата. При этом были намечены контуры аксиоматической системы, базирующейся на части полного списка аксиом евклидовой геометрии - на всех ее аксиомах за вычетом аксиомы параллельности. Особенно глубоко изучил эту систему Янош Бойяи, давший ей название "абсолютная геометрия". Утверждение о непротиворечивости неевклидовой геометрии Лобачевского можно формулировать в виде заключения о независимости аксиомы параллельности от остальных аксиом евклидовой геометрии или в виде заключения о том, что аксиоматика абсолютной геометрии не является полной. Начатки абсолютной геометрии имеются уже у Евклида, пытавшегося возможно далее не использовать V постулата. В качестве типичной теоремы абсолютной геометрии можно упомянуть следующую: внешний угол треугольника меньше не смежного с ним внутреннего угла. К абсолютной геометрии относится, например, и теорема 1 Лежандра, утверждающая, что сумма углов треугольника не может быть больше 180°.ЗаключениеЕвклидова и так называемая Неевклидова геометрия сыграли огромную роль во всей современной математике. О дальнейшем развитии геометрии как науки о различных евклидовых и неевклидовых «пространствах» различного числа измерений заметим только, что исследование этих абстрактных математических «пространств» вовсе не имеет своей единственной целью создание запаса гипотетических систем отражения свойств реального пространства. Практические применения современной геометрии чрезвычайно широки. Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.Геометрия претендует в качестве наиболее мощного орудия точного естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ля ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.Геометрия изучает формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Геометрия не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить..Список используемой литературыГеометрия — Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.—Л., 1949; Развитие аксиоматики геометрии — Начала Евклида, пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, М.—Л, 1948; Каган В. F, Основания геометрии, т. 1—2, Одесса, 1905—07; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем. (с вводной статьёй П. К. Рашевского), М.—Л., 1948.Свечников А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. – М.: Просвещение, 1995Философское освещение роли аксиоматики в различных областях математики — Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936;

 

НАШИ КОНТАКТЫ

Skype: forstuds E-mail: [email protected]

ВРЕМЯ РАБОТЫ

Понедельник - пятница 9:00 - 18:00 (МСК)

ПРИНИМАЕМ К ОПЛАТЕ